Bases de trigonométrie
La trigonométrie est née d’une envie de déterminer plus facilement les longueurs dans les triangles rectangle. Pour simplifier les cas les mathématiciens et architectes ont étudier tous les triangles ayant un hypothénuse (le coté le plus long) égale à 1. Ainsi en traçant tout les triangle possible avec un hypothénuse égale à 1 on obtient un cercle composé de tous les sommets possible pour ces triangles. La trigonométrie est de regardé tout simplement un triangle au sein de ce cercle.
Sur le cercle, dit trigonométrique, ci-dessus apparait le cosinus, le sinus et la tangeante pour un angle donné (sur le schema environ 60 degré). Pour tout angle une paire unique de valeurs de sin, de cos existe. Gràce à ces valeurs nous pouvons faire l’opération inverse et trouver l’angle. L’angle forme un triangle qui à de coté la valeur du sinus et celui du cosinus ainsi qu’un hypthénuse égale au rayon du cercle limité comme nous l’avons dit à 1. Grace au sinus et cosinus nous pouvons donc trouver les angles ou les longueurs des cotés d’un triangle sans connaitre les 2 cotés nécessaire à la résolution avec pythagore.
Dans un triangle
Un moyen mémotechnique permet d’appliquer plus simplement a trigonométrie, c’est le fameux SOHCAHTOA qui permet de se rappeler que dans un triangle
SOH -> sin(angle)=coté-opposé/hypothénuse
CAH -> sin(angle)=coté-adjacent/hypothénuse
TOA -> sin(angle)=coté-opposé/coté-adjacent
Fonctions et fonctions inverses
Les fonctions mathématiques permetent d’obtenir ces différentes distances: sin(angle), cos(angle), tan(angle).
Des fonctions permettent de faire l’opération inverse et ainsi de fournir l’angle à partir de la longueur: sin-1(longueur), cos-1(distance),tan-1(distance).
Ces fonctons inverses sont parfois noter asin, acos, atan ou arcsin, arccos,arctan.
Cas d’usage
Prennons quelques exemples:
Cherchons l’angle du toit de l’abbris çi dessus soit BĈA sur le schéma ci-dessus.
Calculons l'hypothénuse (AC) avec Pythagore
AC² = AB²+BC² = 3²+4² = 25
AC = √25 = 5
Au tour de la trigo
sin(BĈA)=coté-opposé/hypothénuse=AB/AC
sin(BĈA)=3/5
BĈA=asin(3/5)
BĈA=36.87 degrés
Maintenant remplaçons le toit pour le remplacer par un toit en chaume nécessitant un angle plus grand, disons 60 degrés. Nous nous interressons donc a l’incidence sur la longueur AB
Si BĈA est égale 60 degrés et nous savons que
tan(BĈA)=AB/BC
Nous nous intéressons à AB nous pouvons multiplier des deux coté par AC et obtenons:
tan(BĈA)xBC=AB
soit
AB = tan(BĈA)xBC
AB = 4 x tan(60 degrés)
AB = 4 x 1,732
AB = 6,928
Avec un angle de 60 degrés la hauteur de l’abbris augmente de 3,928m car:
6,928(nouvelle hauteur) - 3(ancienne hauteur) = 3,928m
