Bases de trigonométrie

La trigonométrie est née de la volonté de déterminer plus facilement les longueurs et les angles dans les triangles rectangles. Si on change la taille d’un triangle, les angles restent les mêmes, seul les longueurs changent. Ces derniers changent de manière proportionnelle: ce faisant, si on connaît les longueurs d’un triangle, on peut en déduire les longueurs d’un triangle plus grand ou plus petit, en multipliant ou en divisant les longueurs par la différence de taille entre les deux triangles.

Ainsi, les mathématicien⸱nes ont décidé de se simplifier la vie en ne s’intéressant qu’aux triangles ayant une hypothénuse (le côté le plus long du triangle) égale à 1. Cela permet de déduire les longueurs des côtés des autres triangles simplement en multipliant leurs valeurs par la taille du triangle en question. Pour un triangle, iels notaient les longueurs des côtés de ce triangle par rapport à l’angle alpha. Les mathématiciens ont décidé de nommer ces longueurs sinus (la hauteur sur le schéma ci-dessus) et cosinus (la largeur sur le schéma ci-dessus).

En étudiant tous les triangles possibles avec une hypothénuse égale à 1, on obtient un cercle composé de tous les sommets possibles pour ces triangles, comme le montre le schéma ci-dessous.

C’est ce cercle qui a été nommé cercle trigonométrique. La trigonométrie étant principalement l’étude des triangles pouvant être inscrits dans ce cercle.

Sur le cercle, dit trigonométrique, ci-dessus apparaissent le cosinus, le sinus et la tangeante pour un angle donné (sur le schema, environ 25 degrés). Pour tout angle, une paire unique de valeurs de sinus (“sin”) et de cosinus (“cos”) existe. Grâce à ces valeurs, nous pouvons faire l’opération inverse et trouver l’angle. L’angle forme un triangle dont les côtés dont égaux à la valeur du sinus et à celle du cosinus, et l’hypothénuse de ce triangle est égale au rayon du cercle - leur valeur étant limitée, comme nous l’avons dit, à 1. Grâce au sinus et au cosinus, nous pouvons donc trouver les angles ou les longueurs des côtés d’un triangle sans connaître les 2 cotés qui seraient nécessaires à la résolution avec Pythagore.

Dans un triangle

Un moyen mémotechnique permet d’appliquer plus simplement la trigonométrie, c’est le fameux SOHCAHTOA qui permet de se rappeler que dans un triangle

\[\begin{aligned} \text{SOH:}\quad &\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \\ \text{CAH:}\quad &\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \\ \text{TOA:}\quad &\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \end{aligned}\]

Fonctions et fonctions inverses

Les fonctions mathématiques permettent d’obtenir ces différentes distances: sin(angle), cos(angle), tan(angle).

Des fonctions permettent de faire l’opération inverse et ainsi de fournir l’angle à partir de la longueur: sin^-1(longueur), cos^-1(distance),tan^-1(distance).

Ces fonctons inverses sont parfois notées asin, acos, atan ou arcsin, arccos, arctan.

Cas d’usage

Prenons quelques exemples:

Cherchons l’angle du toit de l’abris ci-dessus, soit BĈA sur le schéma ci-dessus.

\[\text{Calcul de l'hypoténuse }(AC) \text{ avec Pythagore} \\ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \\ AC = \sqrt{25} = 5\] \[\text{Trigonométrie : calcul de l'angle } \widehat{BCA} \\ \sin(\widehat{BCA}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}\] \[\widehat{BCA} = \arcsin\!\left(\frac{3}{5}\right) \approx 36.87^\circ\]

Maintenant changeons la couverture du toit pour du chaume nécessitant un angle plus grand, disons 60 degrés. Nous nous interressons donc à l’incidence sur la longueur AB

Si BĈA est égal à 60 degrés et nous savons que

\[\tan(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC}\]

Nous nous intéressons à AB. Nous pouvons multiplier des deux coté par AC et obtenons:

\[\tan(\widehat{BCA}) \times BC = AB\]

soit:

\[AB = \tan(\widehat{BCA}) \times BC\] \[AB = 4 \times \tan(60^\circ)\] \[AB = 4 \times 1.732\] \[AB = 6.928\]

Avec un angle de 60 degrés la hauteur de l’abris augmente de 3,928 m car:

\[6.928 \;(\text{nouvelle hauteur}) \;-\; 3 \;(\text{ancienne hauteur}) = 3.928 \,\text{m}\]

Conclusion

Voilà pour un rappel ou une introduction à la trigonométrie qui fait peur à beaucoup de monde. En espérant que cela a permis de mieux comprendre les bases de la trigonométrie et comment elle peut être utilisée pour résoudre des problèmes de construction. N’hésitez pas à pratiquer avec différents angles et longueurs pour vous familiariser davantage avec ces concepts.