Thales et pythagore
Thales
Le théorème de Thales énonce que dans le cas ci-dessus, les segments DE, AE et AD sont proportionnels respectivement aux segments BC, AC et AB. Autrement dit:
\({DE \over BC} ={ AE \over AC} = {AD \over AB}\)
Ce théorème fonctionne quand les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Il est important de noter que ce théorème est valable pour n’importe quelle figure, pas seulement pour les triangles rectangles.
Super ça ! À quoi cela nous sert ?
Dans le cas d’une maison / abri comme ci-dessous:
Nous voulons rajouter un faux plafond dans le but d’isoler. Nous voulons calculer la longueur de la planche / chevron / etc nécessaire. Nous pouvons annoter comme suit:
Nous cherchons a calculer la longueur DE. Thales nous permet de faire ce qui suit:
\[\begin{aligned} {DE \over BC} &= {AD \over AB} \\ DE &= BC \cdot {AD \over AB} \\ DE &= 4 \cdot {1 \over 3} \\ &\text{soit environ 1,333 m} \end{aligned}\]Pythagore
Le théorème de Pythagore énnonce:
\[AB^2+AC^2=BC^2\]BC étant l’hypothénuse. Soit le carré de l’hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
Pour celle et ceux qui détestent des formules sortant de nulle part, ci dessous est la preuve visuel de ce théoreme.
Dans (1) nous avons un carré de coté a+b contenant 4 triangles abc. Ces triangles forment un carré inscrit de coté c. Autrement dit, l’aire restante sans les triangles est égale à c2.
Dans (2) nous réarrangeons les triangles sans changer leur taille, de fait sans changer la quantité de place qu’ils occupent. L’aire restante ne change donc pas et reste égale à c2.
Ce réarrangement permet également de voir que l’aire restante égale à c2 est composée de deux autres carrés respectivement de coté a et b. Nous observons donc que c2 équivaut effectivement à a2 + b2
Voici comment ce théorème peut nous être utile dans le cas vu ci-dessus.
Le faux plafond étant maintenant installé, nous souhaitons calculer la superficie de lambris à poser sous les combles, soit (EC x longueur de la maison). Imaginons un triangle en projetant E sur BC. Autrement dit, projeter signifie ajouter un point que l’on peut nommer E’ sur BC, où E’E est perpendiculaire à BC.
\[\begin{aligned} E'E &= BD = 2 \\ E'C &= BC - DE = 4 - \frac{4}{3} \text{ soit environ } 2.666 \\ &\text{Appliquons le théorème de Pythagore pour trouver } EC \\ EC^2 &= E'E^2 + E'C^2 \\ EC^2 &= 2^2 + 2.666^2 = 11.11 \\ &\text{Nous cherchons } EC \text{ ,et non } EC^2 \text{ donc} \\ EC &= \sqrt{EC^2} = \sqrt{11.11} \approx 3.333 \end{aligned}\]EC est donc égale à 3,333 m. Si notre abris est long (ou profond) de 5 m il nous faudra 3,333*5 m de lambris, soit 16,66 m²
