Le problème
Nous souhaitons planifier des semis pour l’année à venir, notamment sur les différentes périodes de semis en fonction des espèces. Par exemple, les courgettes (en fonction de la variété et de la localisation) sont semées de mi-avril à mi-juin, soit une période de 9 semaines. Nous souhaitons étalonner les semis pour permettre à la récolte un étalonnage plus ou moins proportionnel. Ainsi, nous pouvons récolter sur une période de deux mois des courgettes.
Mais dans notre cas, nous nous méfions des risques en début et en fin de période et ne souhaitons pas planter autant en début ou en fin de période, mais concentrer nos semis sur les semaines les plus propices.
Fonction de densité
La fonction de densité est le nom que l’on va associer à la fonction qui modélise notre rythme de semis.
Ci-dessus, trois formes de courbe illustrent ce que la fonction de densité permet de modéliser. La courbe violette modélise une distribution où l’on commence avec un rythme très faible et on augmente progressivement ce rythme en plantant de plus en plus de semis chaque semaine (par exemple : semaine 1 -> 10, semaine 2 -> 20, semaine 3 -> 30). La dernière semaine de la période serait la semaine où l’on plante le plus.
La courbe gris-ardoise modélise une situation où chaque semaine on plante un nombre constant de semis (par exemple : semaine 1 -> 20, semaine 2 -> 20, semaine 3 -> 20). La courbe rouge prévoit une répartition où l’on sème peu au début de la période ainsi qu’à la fin, en concentrant les semis au milieu de la période (par exemple : semaine 1 -> 10, semaine 2 -> 40, semaine 3 -> 10).
Déterminer la fonction de densité
La courbe violette ci-dessus semble correspondre à nos attentes, malgré le fait qu’il existe d’autres courbes qui modéliseraient bien mieux les risques. Nous allons chercher une fonction permettant de calculer le nombre de semis. Pour cela, nous allons utiliser l’outil mathématique appelé intégrale, permettant de calculer l’aire sous une courbe. Dans notre cas, c’est cette aire qui va correspondre à l’intégralité de nos semis. Nous allons utiliser des pourcentages pour représenter la quantité de semis à planter sur une période. Ainsi, nous cherchons une courbe qui, sur une période donnée, a une aire sous sa courbe correspondant à 100 % ou 1. Après tout, nous voulons sur cette période planter l’intégralité (100 %) de nos semis.
La courbe violette correspond au polynôme -4x2+4x mais n’a pas une aire égale à 1 sous la courbe entre 0 et 1, que l’on va utiliser en abscisse comme notre période totale. Nous cherchons donc une fonction sous la même forme, soit :
\[A(-x^2 + x)\]Nous cherchons A pour que l’aire sous la parabole soit égale à 1.
Mise sous équation
\[\int_0^1 A(-x^2 + x)\,dx = 1\]Sortir la constante (A)
L’intégrale est linéaire, donc on peut sortir la constante :
\[A \int_0^1 (-x^2 + x)\,dx = 1\]Intégrer terme par terme
On utilise les primitives classiques :
\[\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\\ \int x\,dx = \frac{x^2}{2}\]Donc l’équation finale est:
\[A \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 1\]Évaluer entre 0 et 1
\[\begin{aligned} \text{Nous partons de : }\\ &A \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1\\ \text{Évaluation en } x = 1 :\\ -\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} &= -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\\ \text{Évaluation en } x = 0 :\\ -\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} &= 0\\ \text{Calculons la différence d'aire :}\\ \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - 0 &= -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\\ \text{Simplification de la fraction :}\\ -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} &= -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\\ \text{Donc :}\\ A \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 &= A \cdot \frac{1}{6} \end{aligned}\]On résout
On veut une aire égale à 1, soit :
\[\begin{aligned} A \cdot \frac{1}{6} &= 1\\ A &= \frac{1}{\frac{1}{6}}\\ A &= 6 \end{aligned}\]On obtient
Notre fonction de répartition et sa primitive sont donc :
\[\begin{aligned} f(x)&=6(-x^2+x)\\ &=-6x^2+6x\\ F(x)=\int f(x) &=-2x^3+3x^2 \end{aligned}\]Appliquons à nos semis
Nous voulons savoir le nombre de semis à planter la 4e semaine d’une période de 6 semaines. Cela correspond à évaluer :
\[\begin{aligned} &\left[ -2x^3 + 3x^2\right]_{3^{e}\text{ semaine sur }6}^{4^{e}\text{ semaine sur }6}\\ \end{aligned}\]Soit :
\[\begin{aligned} &=\left[ -2x^3 + 3x^2\right]_{3/6}^{4/6}\\ &=\left[ -2x^3 + 3x^2\right]^{4/6} - \left[ -2x^3 + 3x^2\right]^{3/6}\\ &=\left[ -2\left(\frac{4}{6}\right)^3 + 3\left(\frac{4}{6}\right)^2\right] - \left[ -2\left(\frac{3}{6}\right)^3 + 3\left(\frac{3}{6}\right)^2\right]\\ &=\left[- \frac{16}{27} + \frac{4}{3}\right] - \left[ -\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right]\\ &= \frac{20}{27} - \frac{1}{2}\\ &= \frac{13}{54} \approx 0,24 \end{aligned}\]Nous avons donc un résultat de 24 % pour la 4e semaine. La 4e semaine, nous devons semer 24 % de nos courgettes. Si nous refaisons la même chose pour les autres semaines, voici le résultat :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Pourcentage de semis | 7,41 | 18,52 | 24,07 | 24,07 | 18,52 | 7,41 |
On remarque que les semaines 3 et 4, au milieu de nos 6 semaines, représentent à elles seules près de la moitié des semis à faire.
Il suffit d’appliquer ce pourcentage au nombre de semis total que l’on souhaite planter pour savoir le nombre de semis à prévoir sur une période. Il est évidemment plus simple de faire un tableau comme ci-dessus et de s’y référer à chaque fois.
Conclusion
Nous avons pu voir la méthode pour répartir des semis en fonction d’une répartition choisie, dans notre cas une parabole.
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